Totální diferenciál

Definice totálního diferenciálu. Nechť $D$ je otevřenou množinou v prostoru $\mathbb{R}^n$ a nechť $F:D\to \mathbb{R}^m.$ Řekneme, že zobrazení $F$ je v bodě $a\in D$ diferencovatelné, existuje-li lineární zobrazení (homomorfismus) $L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ tak, že platí \[\lim_{h\to 0}\frac{F(a+h)-F(a)-L(h)}{\sqrt[]{\sum_{i}h_i^2}}=\underline{0}\] Lineární zobrazení $L$ budeme nazývat totálním diferenciálem a značit $dF_{a}$. Matici zobrazení $dF_{a}$ vzhledem ke kanonické bázi nazveme derivací zobrazení $F$ v bodě $a$ a značit ji budeme symbolem $F'(a).$

Věta. Nechť $f:{\mathbb R}^n\to{\mathbb R}^m$ je zobrazení diferencovatelné v bodě $a\in{\mathbb R}^n$. Potom existuje nejvýše jedno lineární zobrazení $L:{\mathbb R}^n\to{\mathbb R}^m$ takové, že \[\lim_{h\to 0}\frac{F(a+h)-F(a)-L(h)}{\sqrt[]{\sum_{i}h_i^2}}=\underline{0}\]

Příklad. Uvažujme funkci $f(x,y)=x^2+y^2.$ Rozhodněme, zda-li je tato funkce v bodě $a=(0,0)$ diferencovatelná.
Položme $h=t(1,0),$ pak máme $t\to 0$ pokud $h\to 0.$ Pokud by daná funkce byla diferencovatelná, existovalo by lineární zobrazení $L(h_1,h_2)=uh_1+vh_2$ a muselo by platit: \[\begin{aligned} 0 &=\lim_{h\to 0}\frac{F(a+h)-F(a)-uh_1-vh_2}{\sqrt[]{\sum_{i}h_i^2}}=\lim_{t\to 0}\frac{F(((0,0)+(t,0))-F(0,0)-uh_1-vh_2}{|t|}\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{t^2-ut}{|t|}.\end{aligned}\]Odtud plyne, že musí být $u=0.$ Podobně se ukáže, že $v=0.$ Nyní máme \[\lim_{h\to 0}\frac{F(a+h)-F(a)-uh_1-vh_2}{\sqrt[]{\sum_{i}h_i^2}}=\lim_{h\to 0}\frac{h_1^2+h_2^2}{\sqrt[]{h_1^2+h_2^2}}=0.\]

Definice tečné roviny. Předpokládejme, že je funkce $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, která je v bodě $(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$ diferencovatelná. Potom rovnice \[z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0),\] definuje tzv. tečnou rovinu ke grafu funkce $z=f(x,y)$ s bodem dotyku $(x_0,y_0,f(x_0,y_0)).$

Věta. Je-li $F$ diferencovatelné zobrazení v bodě $a$, potom je v bodě $a$ spojité.

Věta. (Postačující podmínka diferencovatelnosti.) Má-li zobrazení $F$ na okolí bodu $a$ spojité parciální derivace, potom je zobrazení $F$ v bodě $a$ diferencovatelné.

Příklad. Uvažujme lineární zobrazení $F(x,y)=ax+by.$ Dokažme, že $F$ je diferencovatelné. Položme $L(h_1,h_2)=ah_1+bh_2$ a ukažme, že $dF_{(x_0,y_0)}(h_1,h_2)=ah_1+bh_2.$ \[\begin{aligned} F(x_0+h_1,y_0+h_2)&=a(x_0+h_1)+b(y_0+h_0)=ax_0+by_0+ah_1+bh_2\\ &=F(x_0,y_0)+L(h_1,h_2)\implies\end{aligned}\] \[F(x_0+h_1,y_0+h_2)-F(x_0,y_0)+L(h_1,h_2)=0\implies\] \[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)} \frac{F(x_0+h_1,y_0+h_2)-F(x_0,y_0)+L(h_1,h_2)}{\sqrt[]{h_1^2+h_2^2}}=0.\]Jinak lze postupovat tak, že použijeme tzv. postačující podmínku diferencovatelnosti. Spočítejme obě parciální derivace funkce $F.$ $\frac{\partial F}{\partial x}=a$, $\frac{\partial F}{\partial y}=b$ pro každé $(x,y)\in\mathbb{R}^2.$ Obě parciální derivace jsou tedy konstantními funkcemi a jsou tudíž spojitými funkcemi. Odtud plyne diferencovatelnost lineární funkce $F.$ Navíc jsme ukázali, že platí $dF_{(x_0,y_0)}=F.$

Věta. (Jakobiho matice derivace.) Předpokládejme, že zobrazení $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ je diferencovatelné v bodě $a\in\mathbb{R}^n.$ Potom je matice (tzv. Jakobiho matice) $F'(a)$ totálního diferenciálu $dF_a$ rovna matici: \[F'(a)=(D_jF^i(a))_{i=1,\ldots,m,j=1,\ldots,n}.\]

Poznámka. Poznamenejme, že v předchozí větě se tvrdí mimo jiné, že z diferencovatelnosti zobrazení $F$ vyplývá existence parciálních derivací

Příklad. Mějme dáno zobrazení $F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ dané předpisem $F(r,\phi)=(r\cos\phi,r\sin \phi),$ $(r,\phi)\in\mathbb{R}^2.$ Nejdříve ukažme, že zobrazení $F$ je diferencovatelné v každém bodě. Spočítejme parciální derivace funkcí $F^1(r,\phi)=r\cos\phi$ a $F^2(r,\phi)=r\sin\phi.$ \[\frac{\partial F^1}{\partial r}=\cos\phi,\ \ \ \frac{\partial F^1}{\partial \phi}=-r\sin\phi,\] \[\frac{\partial F^2}{\partial r}=\sin\phi,\ \ \ \frac{\partial F^2}{\partial \phi}=r\cos\phi.\] Je zřejmé, že všechny čtyři parciální derivace jsou všude spojité a tudíž je zobrazení $F$ diferencovatelné v každém bodě $(r,\phi)\in\mathbb{R}^2.$ Nyní lze zapsat Jakobiho matici ve tvaru: \[\left( \begin{matrix} \cos\phi & -r\sin\phi\\ \sin\phi & r\cos\phi \end{matrix} \right) .\]

Věta. (Algebra derivací.) Nechť $f,g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ diferencovatelné v bodě $a\in\mathbb{R}^n.$ Potom platí
(1) $f\cdot g$ je diferencovatelná funkce v bodě $a$ a platí \[d(fg)_a=g(a)\cdot df_a+f(a)\cdot dg_a.\] (2) Je-li $g(a)\neq 0,$ potom je funkce $f/g$ v bodě $a$ diferencovatelná a platí \[d(f/g)_a=\frac{g(a)\cdot df_a-f(a)\cdot dg_a}{[g(a)]^2}.\]

Příklad. Vyšetřeme diferencovatelnost v počátku $a=(0,0)$ funkce \[f(x,y)=\frac{2x^2y}{x^4+y^2}.\] Funkci dodefinujme v počátku hodnotou limity existuje-li.

Příklad. Najděte totální diferenciál funkce $f(x,y)=\frac{\sin x\cos y}{x^2+1}$ v bodě $a=(\pi/4,\pi/4).$

Definice gradientu. Předpokládejme, že funkce $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ má všechny parciální derivace v bodě $a\in\mathbb{R}^n.$ Gradient $\nabla f(a)$ funkce $f$ v bodě $a$ je vektor definovaný vztahem \[\nabla f(a)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\right)_{1\le i\le n}=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)\]

Věta. Předpokládejme, že funkce $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ je diferencovatelnou funkcí v bodě $a\in\mathbb{R}^n.$ Potom pro každý vektor $v\in\mathbb{R}^n$ platí : \[D_vf(a)=\langle \nabla f(a),v\rangle.\]

Příklad- Pro každé $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ položme $\|(x,y)\|=\sqrt[]{x^2+y^2}.$ Nyní uvažujme funkci $f(x,y)=\|(x,y)\|,$ $(x,y)\in\mathbb{R}^2.$ Najděme gradient $\nabla f(x,y)$ pro každý bod $(x,y)\neq(0,0).$

Příklad. Předpokládejme, že funkce $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ je v bodě $a\in\mathbb{R}^n$ diferencovatelná. Nyní hledejme takový vektor $v_0\in\mathbb{R}^n$, že $\|v_0\|=1$ a $|D_{v_0}f(a)|=max_{\|v\|=1}|D_vf(a)|.$

Věta. (Řetízkové pravidlo.) Předpokládejme, že $V,W,X$ jsou konečně-rozm ěrné prostory, $U\subset V$ a $U\subset W$ jsou otevřené podmnožiny, $F:U\rightarrow \tilde{U}$ a $G:\tilde{U}\rightarrow$ $X$ jsou zobrazenı́. Jestliže $F$ je v bodě $a\in U$ diferencovateln é zobrazenı́ a zobrazenı́ $G$ je v bodě $F\left( a\right) \in \tilde{U}$ diferencovatelné, pak je také složené zobrazen ı́ $G\circ F$ diferencovatelné v bodě $a$, navı́c platı́ \[d\left( G\circ F\right) _a =dG_{F(a)} \circ dF_a\] (Pravou stranu chápejme jako kompozici dvou lineárních zobrazení!)